托普利茲猜想

1911年，數學家奧托‧托普利茲（Otto Toeplitz）提出了一個幾何猜想：在平面中的任意一條簡單封閉曲線上，總能找到四個點，它們恰好能構成一個正方形。這個問題又被稱為「 內接正方形問題」（insribed square problem/ square peg problem）或「 托普利茲猜想/問題」（Toeplitz' conjecture/ problem），這樣的曲線又稱為「 若爾當曲線」。這個看似簡單的問題至今仍未被證明或推翻，不過顯然，數學家們普遍認為這個猜想是正確的。 本文將首先介紹數學家托普利茲和「 托普利茲猜想」的來龍去脈，再介紹一些基本圖形的情況。然後，本文將研究凸多邊形的內接正方形。接下來，通過引入一個「登山遊戲」，來完成對於一般曲線情況下的研究。 另外， 筆者發現很網上關於托普利茲本人和「托普利茲猜想」猜想的資料不多，中文版的更是難以蒐集，這些也成為了筆者撰寫本文的一大初衷，致力於對這些內容進行研究和總結，寫成一篇數學科普文章。